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數學教育與騎腳踏車

2006/10/06

1204

翁秉仁（台大數學系）

這些年來的小學數學教育改革，逐漸在淡化計算的重要性，美其名為強調數學的理解與生活的應用。每當教學時數不夠時，就要削減枯燥的計算與相關練習的份量。當小朋友無法負荷計算時，則藉新科技的威名，要學生使用電算器。這些說法都有局部的道理，但是整個拼湊起來，就是有點問題。本文主要是想說明，這樣的作法，並沒有辦法培養學生的數學能力，進行真正實用的解題應用。其關鍵就在於整塊拼圖板上，少了國小數學教育最關鍵的一塊拼圖─計算能力。

小朋友怎麼學騎腳踏車

觀察小朋友學騎腳踏車，對（數學）教育工作者是一個很有啟發性的過程：
教小孩騎腳踏車，經常得先有伏筆，也許家長先讓他騎騎安全的三輪車，可以到處遊走，或是家長騎著腳踏車載著他到處去逛，享受自由的樂趣，製造他學習的動機。

正式學習腳踏車的過程，開始經常都很混亂，這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的溝通方式、各式各樣怎麼快速學會腳踏車的秘方。有些小朋友很快就學會，有些則是因為連番受挫（摔跤、挨罵），乾脆將腳踏車束之高閣。但是學騎車大概有幾點共通的想法：從與小朋友體型配合的車子學起；在空曠的地方學；家長必須要有耐性，但是不能焦慮；找到恰當的教學門徑；知道小朋友學騎腳踏車，最常犯的錯誤。但是顯然的，並不是一定要具足這些條件，才能學腳踏車，小朋友的動機與韌性，經常能夠克服惡劣的學習條件。而且沒有家長會教小朋友先理解騎腳踏車的動力學原理，事實上，理不理解一點關係都沒有。

剛學會騎腳踏車並不算真的學會，不然我們就不會遇到許多自稱會騎車的大朋友，騎起車來卻險象環生。一般來說，能夠開始騎車的小朋友，多半都會對這個賜給自己自由的新工具躍躍欲試。於是，當小朋友開始能搖搖晃晃自己上車、起動、出發後，家長就應該帶著他到處晃，讓他在練習中理解自己車子的性能、一般的路況（路面、坑洞、上下坡、轉彎、寬窄）、與其他人車的互動。經過相當的練習與「出事」後，小朋友才能真正掌控整個騎車的感覺，而且開始在騎車時，耍出各種爸媽看了提心吊膽，自己得意萬分的花招。

光是知道怎麼騎車是不夠的，而是那種能夠讓騎車與環境產生一種純熟一體的默契感，才足以稱之為車感。只有這樣的車感，才能夠整個被轉移到大腦的記憶中，變成宛如天生的一種延伸的肢體感。不只可以讓他隨時騎車遨遊，而且就算是臨時換一部陌生的車子，也能很快地駕馭它，甚至日後改騎機車、開車時都有一定的助益。

腳踏車是一種工具，但靈活的車感很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生的能力；它是一種人類限制的解放，一種自由，一種信心；它更是一種博藍尼（M. Polanyi）所說的默會知識（tacit knowledge），它純熟到潛入我們的意識底層，在背景中默默支援著我們其他焦點知識的習得。默會知識越豐富，所能連結與體認的新知識就越多，學習也越容易。

如果大人仔細反省一下自己的能力，有多少稱得上是純粹天生的？到底有多少「天生」的能力，其實只是已經遺忘的學習痕跡。俗語常說的「熟能生巧」，十分警要。許多事情要「巧」才有好處，而「巧」的前提就是要「熟」。我們的能力，有相當多都是經過類似騎腳踏車這樣的過程建立起來的，其中又以語言與計算是其中最具一般性的重要能力。

範例：乘法的腳踏車

套用騎腳踏車的過程到乘法計算的學習上，有許多驚人的神似之處，相當程度掌握了計算之所以重要的精髓，讓筆者將它整段「翻譯」過來：
教小孩學乘法計算，經常得先有伏筆，我們先讓他學習加法、連加法、幾個一數，讓他在生活上可以應用，或是大人可以帶著小朋友到店裡去購物、點數，讓小朋友知道乘法的神奇，並製造他學習的動機。

正式學習乘法的過程，開始經常都很混亂，這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的溝通方式、各式各樣怎麼快速學習乘法的秘方。有些小朋友很快就能學會，有些則是因為連番受挫（算錯、太慢、挨罵），乾脆將乘法束之高閣。但是學乘法計算大概有幾點共通的想法：先從九九乘法學起；要有寬裕的時間；教師或家長必須要有耐性，但是不能焦慮；要找到恰當的教學門徑；知道小朋友學乘法時，最常犯的錯誤。但是顯然的，並不是一定要具足這些條件，才能學乘法，小朋友的動機與韌性，經常能夠克服惡劣的學習條件[1]。而且沒有教師會教小朋友先理解乘法的數學原理（指乘法計算的分配律原理），事實上，理不理解一點關係都沒有。

剛學會乘法並不算真的學會，不然我們就不會遇到許多自稱已經學過乘法的學生[2]，算起乘法來還是險象環生。一般來說，開始學會乘法的小朋友（尤指九九乘法），多半都會對這個賜給自己自由的新工具躍躍欲試。於是，當小朋友開始能一步步慢慢計算後，教師就應該盡量提供他各式各樣的練習與應用機會，讓他在練習與應用中理解乘法的意義、乘法計算的內在技巧，以及乘法在日常生活中各式各樣的應用。經過相當的練習與犯錯後，小朋友才能真正掌控整個乘法計算的感覺，開始在計算問題時，耍出各種爸媽看了也自嘆不如，自己得意萬分的花招。

光是知道何謂乘法計算是不夠的，而是那種能夠讓（乘法）計算的內部連結與外部應用產生一種純熟一體的默契感，才足以稱之為數字感。只有這樣的數字感，才能夠整個被轉移到大腦的記憶中，變成宛如天生的一種延伸的心智能力。不只可以讓他隨時都能計算，而且就算是學習看似陌生的除法時，也能很快地駕馭它，甚至日後改學分數、小數甚至實數時都有一定的助益。

計算是一種工具，但計算能力很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生的能力；它是一種人類限制的解放，一種自由，一種信心；它更是一種博藍尼所說的默會知識，它潛入我們的意識底層，在背景中默默支援著我們其他（數學）知識的習得。　

1 這好像在講用傳統方式教學的教師或家長。
2 例如傳說中今年的建構國一生。

這樣的「翻譯」，在細節上當然有不如人意的地方[3]，不過它相當程度地反應出計算能力習得的過程與要件，以及掌握計算前後那種判若雲泥的差別。 3 例如到底是乘法計算，還是廣義的所有計算。
帶過小孩學習九九乘法的家長，大概都經歷過一段類似教小孩騎車的過程（除非是強迫背誦）。起初小朋友會想盡辦法用連加法去計算一個倍數問題，不管加幾次他也不在乎，而且可能會對九九乘法表這種死背的東西嗤之以鼻。家長只有陪他慢慢磨，不斷威脅利誘。最後當他終於開始背了之後[4]，事情就會產生劇烈的變化，他會開始要求家長用各式各樣的問題來「考」他，一夜之間，連加法變成石器時代的工具，差別就像「在天上飛」與「在地上走」一般。

4 很不幸的，這部分通常是學校老師的功勞。

因此建構不背九九乘法的理念，犯了一個相當不可能的明顯錯誤，也許只能歸諸於它根深蒂固的意識型態。用騎腳踏車來比方，一般家長再怎麼樣不會教，沒有耐性，但是他們可都很清楚騎腳踏車與走路的差別是什麼。結果，被他們託付來教小孩騎腳踏車的教師，卻有耐性或散漫到只要求學生摸摸車子；騎個兩三下就下車；不管到哪裡，你要走要跑都行，只要能到就好；真的太慢了，就用遊覽車來載（即電算器）。你說學生不知道腳踏車，他還真摸過看過；你說學生不懂騎腳踏車，教師說我有講解過騎車的原理是什麼。你說學生不會騎，他也能騎個兩三步搖搖晃晃；你說學生不能到處自由探索，他說自由得很，走路就行；走不動，就派遊覽車專車接送。會騎腳踏車的家長怎麼想都不對勁，卻又說不出個名堂。其實說穿了，就是這樣根本不能稱為學會騎腳踏車。這些學生缺乏能自我掌控的流暢車感，也就是上路之後那一大段熟習路況、練習與摔跤的過程。
　

計算為什麼重要

到底在小學時期的數學，是理解比較重要？還是計算比較重要？在網路的BBS上，筆者曾經看過類似這樣的一段文字「我們的小孩為什麼要學計算背公式，那是想要變成專家、數學家的人學的，我們的小孩只要理解數學就可以了。」這段話，大概會讓所有的數學家張目結舌、跌破眼鏡，因為泛泛來說，大概只有數學家認為自己是理解數學的，而背公式這種事才是非數學專業的人該作的事。不過更公允地意見是，在小學階段[5]，計算絕對不可能比理解更不重要。因為不管是就實用的觀點、心智訓練的觀點、甚至就理解的觀點來說，計算能力都處於核心的位置。用更嚴峻的話來說，光靠「理解」根本不可能理解數學。

5 而這實在是小學數學最重要的部分。

這位家長的留言，當然也反映出舊日數學教育的缺點，傳統教育可能讓這位家長在日常生活的數學應用上，比現在的小孩純熟，但是過多的背誦、練習，也讓他視數學為畏途，有朝一日當他開始帶小孩讀數學時，才慢慢發現原來過去所學的數學，其實深有道理，於是一個太快的結論就是，我們應該教小孩學習理解數學，而不是去背誦過去那種冰冷的公式，公式就留給那些數學怪人去背（因為這都是他們發明的），我們的普通小孩只要理解數學就行了。這是一種許多人（包括教師）都可能發生卻似是而非的論點。這樣的看法，忽視了自己的心智受惠於傳統教學的部分：上一代的學生，計算能力比較強。而且身為成人，他們在日常生活中有許多應用數學的經驗。上一代的成人，本來就較具有深入理解基礎數學的本錢。
在近年的數學教育潮流中，「計算」之所以一直處於弱勢，是因為這個詞被看成是附屬於「程序」的一支，因此變成枯燥無味的東西，就像把騎腳踏車的過程支解成一段段的分解動作，然後要求學生背起來一樣。這種學習，跟騎腳踏車根本是兩碼子事。

但是數學家所理解的計算，遠比程序要多得多，這牽涉到數學在人類史上之所以如此重要的特殊本質─數學的抽象性、嚴格性與連結性[6]。舉例來說，我們說解題（problem solving）是這一波數學教育改革的重心。但是解題的重點，並不在於解出一個個的特殊問題，而是要訓練出解題的能力。這種能力之所以可能，就在於學生能從問題，找出適當的數學「模型」、變換數學表徵，列出待求解的數學問題，並且能真得解出這個問題，這所有的過程，都需要抽象性、嚴格性與連結性的訓練。至於解是否恰當；如何估計夠好的解；常用方法不夠，如何尋求其他非典型的解決方法，則是更困難的課題，更需要學生有紮實的抽象性、嚴格性與連結性的訓練。 6 筆者並不是說這些抽象性、嚴格性與連結性本身的「美感」，是我們的教學目標。而是如果要達到數學真正「實用」的目標，這三者都不可或缺。
筆者談的並不是什麼高深數學，解題的例子在日常生活中到處都是，想要從國小的數學教育中得到好處，光是「理解」什麼是四則運算、直式計算、分數、小數、各種量等等是不夠的。想要讓小學生慢慢體認到數學抽象性、嚴格性與連結性的好處，只有將計算的練習與應用作為教學核心才有可能辦到。
這是因為國小數學的核心是與日常生活最相關的數與量[7]，而想要建立完全的數字感，把整數（尤其是大數）、分數、小數看成一個活生生的「世界」，我們需要體認到這些對象的存在（抽象性）、分際（嚴格性）與關係（連結性）。這個任務只有靠各種計算的練習與應用，才能慢慢建立。這是因為計算的對象與過程本身是抽象的，所以才能讓數的「自主性」慢慢浮現。精確的計算本身是嚴格推理的化身，因此我們才能談正確的解，與適用的估算；而計算也讓我們能連結各類數、連結形的性質與數的性質。

7 代數還在前置經驗的階段。幾何在小學階段主要是量的性質，因此其嚴格性不表現於推理，而是推理的化身─計算。

建立各種數的數感是一個漫長的過程，可能要花費數年之久。因此光靠理解概念的意義，做少量的練習，三天捕魚、五天曬網，是遠遠不敷所需的。換句話說，光靠「理解」就想要掌握數學的抽象性、嚴格性與連結性，是絕不可能的。
也因此，單把計算視為程序，想要減輕它的份量以換取學生的學習動機，有一種根本的危險，就是它削足適履到把「足」走路的功能都喪失了。如果真是這樣，數學教學就會變成沒有數學意義，自我解構了。

理解與計算─雙贏的可能性

在目前的數學教育中，計算是弱勢，但是如上述在國小數學教育裡，計算其實應該扮演更核心的角色，因此筆者才會呼籲加重計算在國小數學中的份量。假設有人用「在國小數學教育中，『理解』與『計算』兩者只能選一個，你選那個？」這種兩難的問題，來質疑筆者，筆者一定選「計算」。因為在小學階段，學語言與學數學一樣，都是實用的考量多於其他的考量，是要應用到日常生活去的。何況人類對事物的深刻理解，很多都是靠實踐應用得來的。先掌握計算的能力，絕對還有餘裕回來反省理解的問題[8]。但是強調理解，怠忽計算，絕對只會產生眼高手低的學生。

8 許多上一代傳統教學下出來的學生，都是這樣走過來的。

但是，這不表示筆者贊同回到所謂傳統教學的型態，光靠背誦死算當然是無法真正學好數學的。台灣的傳統教學之所以能夠比美國同樣型態的教學要來得成功，可能還是來自我們的教師、課本，甚至教育文化環境，更加注重解題或學以致用[9]，因此枯燥的計算訓練容易有用武之地，而美國的學生卻大概是真正的死記。這樣的優點，不該隨著社會的遷變、教改觀念的改變而消失。注重學生的理解，也許是呼應教師權威的崩解；強調生活的應用，也許是配合社會經濟狀況的改變，但是要超越孤立或粗淺的理解，超越典型的日常問題的解題（這是另一種死背），真正達到小學數學的實用目的，計算是一定要回來的。

9 也許台灣當時的經濟力不足，反而在這方面扮演了正面的角色。

就像我們強調計算絕不只是程序，理解也不只是知道與認識。在小學數學教育中，真正的計算與理解兩者應該是合而為一的。就像從小朋友學騎車給我們的啟示一樣，能騎車並不算真的會騎車。更重要的是後面那個拓展空間、練習各種路況、跌倒爬起來、適應各種變化的過程。要建立小朋友的數學能力，是一個持續、深入、有挑戰性的過程，而綱要、教師與教科書的責任，就在提供這樣的一種整體有機的學習過程。
傳統教學是教學光譜一端，建構與九年一貫是另一端，台灣的數學教育還有很大的進步空間。

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